Christopher Skinner: Eisenstein Series and Iwasawa Theory

Christopher Skinner présente une méthode pour construire des systèmes d’Euler à l’aide de séries d’Eisenstein, dans le but d’obtenir des extensions de représentations galoisiennes. Il commence par rappeler le contexte historique, notamment les travaux de Mazur et Wiles sur la conjecture principale d’Iwasawa, et souligne l’importance des séries d’Eisenstein dans ces développements. Il expose ensuite un cadre général inspiré de la théorie axiomatique de Karl Rubin, où un système d’Euler est défini comme une collection de classes de cohomologie galoisienne satisfaisant des relations de norme. Skinner illustre son approche avec un exemple simple : la droite projective privée de deux points, où il construit une extension non triviale de représentations galoisiennes en utilisant l’homologie relative et des intégrales de Coleman. Il explique comment cette construction est liée aux valeurs de fonctions L p-adiques et au logarithme de Bloch-Kato. Il propose ensuite une généralisation en considérant une variété X et une sous-variété Y, et en utilisant des séries d’Eisenstein comme classes différentielles. Il discute des avantages de cette méthode, notamment l’absence de congruences galoisiennes et l’utilisation d’intégrales de Rankin-Selberg. Il mentionne également des exemples concrets, comme le cas des variétés abéliennes de dimension trois, et souligne les défis restants, notamment la preuve des relations de norme et l’obtention de lois de réciprocité explicites.