Math 131 012626 What are the real numbers

Ce cours magistral de mathématiques, destiné à des étudiants de niveau universitaire, introduit rigoureusement les nombres réels. L’enseignant commence par rappeler les notations ensemblistes de base (appartenance, inclusion, égalité) puis définit la notion d’ensemble ordonné, en insistant sur les propriétés de trichotomie et de transitivité. Il illustre ces concepts avec des exemples concrets (dictionnaire, plan complexe avec ordre lexicographique) et un contre-exemple (inclusion ensembliste). Ensuite, il aborde la notion de bornes (supérieure et inférieure) et définit la borne supérieure (supremum) et la borne inférieure (infimum). Il souligne que la borne supérieure n’appartient pas nécessairement à l’ensemble (exemple de l’intervalle ouvert). Il introduit la propriété de la borne supérieure (LUB) et montre que l’ensemble des rationnels ne la possède pas, contrairement aux réels. Il démontre l’équivalence entre la propriété de la borne supérieure et celle de la borne inférieure (GLB) en utilisant l’ensemble des minorants. Enfin, il annonce que la suite du cours portera sur les corps et les corps ordonnés, et sur le théorème d’existence d’un corps ordonné contenant Q et possédant la propriété de la borne supérieure.