Spring 2015 Lecture 18 Probability 2

Ce cours magistral de probabilités, destiné à des étudiants de licence, introduit les concepts fondamentaux des variables aléatoires et de leur espérance. Le professeur commence par définir une variable aléatoire comme la valeur d’une variable à la fin d’un programme aléatoire, puis comme une fonction de l’espace des résultats vers les réels. Il illustre ces définitions avec l’exemple du lancer de deux dés. Ensuite, il aborde la notion d’indépendance de variables aléatoires, en la reliant à l’indépendance des événements. La majeure partie du cours est consacrée à l’espérance mathématique : sa définition comme moyenne pondérée par les probabilités, et surtout la propriété de linéarité de l’espérance, qui permet de calculer l’espérance d’une somme sans connaître la dépendance entre les variables. Il démontre cette propriété et l’applique à des exemples simples. Enfin, il introduit les variables aléatoires indicatrices et montre que l’espérance d’une indicatrice est égale à la probabilité de l’événement. Il conclut en présentant une méthode puissante pour calculer des espérances complexes : décomposer une variable aléatoire en somme d’indicatrices et utiliser la linéarité. Il illustre cette méthode avec le problème des rencontres (nombre de personnes recevant leur propre copie lors d’une permutation aléatoire).