Weil conjectures 7: What is an etale morphism?

Cette vidéo est la septième d’une série sur les conjectures de Weil. L’orateur, Richard Borcherds, se propose de définir rigoureusement la notion de morphisme étale en géométrie algébrique. Il commence par rappeler la définition dans le cadre des variétés complexes : un morphisme étale est un homéomorphisme local. Il illustre avec des exemples comme l’inclusion d’un ouvert, l’application z → z^n sur C*, et le revêtement à deux feuillets. Il explique ensuite pourquoi cette définition ne fonctionne pas en géométrie algébrique avec la topologie de Zariski : les ouverts sont trop grands, et les morphismes comme x → x² ne sont pas des isomorphismes locaux. Il propose alors une première définition provisoire : un morphisme est étale s’il induit un isomorphisme sur les complétés des anneaux locaux. Cette définition fonctionne pour les variétés sur un corps algébriquement clos, mais échoue pour les corps non algébriquement clos. Il introduit alors la définition correcte : un morphisme est étale s’il est formellement étale et localement de présentation finie. Il explique la notion de morphisme formellement étale via une propriété de relèvement unique pour les épaississements infinitésimaux. Il donne des exemples : les extensions finies séparables de corps sont étales, tandis que les extensions inséparables ne le sont pas. Il conclut en reliant cette notion à la cohomologie étale et à la cohomologie galoisienne.