Galois theory: Wedderburn's theorem

Cette leçon d’un cours de troisième cycle sur la théorie de Galois démontre le théorème de Wedderburn : toute algèbre à division finie est un corps (donc commutative). Le professeur commence par rappeler la définition d’une algèbre à division et donne l’exemple des quaternions. Il introduit ensuite le centre F de l’algèbre D, qui est un corps fini de cardinal q, et note n la dimension de D sur F. L’ordre du groupe multiplicatif D* est alors q^n - 1. La preuve repose sur l’étude des classes de conjugaison de ce groupe. En utilisant la formule des classes, il exprime q^n - 1 comme somme de q - 1 et de termes de la forme (q^n - 1)/(q^{k_i} - 1), où k_i divise n. L’argument clé est que chaque terme de la somme est divisible par le polynôme cyclotomique Φ_n(q), car k_i < n. Comme Φ_n(q) divise aussi q - 1, on en déduit que n = 1, ce qui montre que D est commutatif. Le professeur mentionne que la preuve originale de Wedderburn utilisait un argument plus compliqué, corrigé par Dickson. Il conclut en présentant le groupe de Brauer, qui classifie les algèbres à division centrales, et donne des exemples pour les corps finis, les réels, les complexes, les corps p-adiques et les corps de nombres.