Modular forms: Classification

Ce cours de la série sur les formes modulaires, donné par Richard Borcherds, traite de la classification des formes modulaires holomorphes de niveau 1 (pour SL2(Z)). L’objectif principal est de démontrer que l’anneau gradué des formes modulaires est isomorphe à l’anneau de polynômes en E4 et E6. Pour cela, l’auteur établit d’abord un lemme clé : le nombre de zéros d’une forme modulaire de poids k dans un domaine fondamental est k/12, en comptant les zéros aux points de bord avec des multiplicités fractionnaires et en incluant le zéro à l’infini. La démonstration utilise le théorème des résidus appliqué à la dérivée logarithmique, en intégrant sur un domaine fondamental tronqué. Les contributions des bords verticaux s’annulent, celle du bord horizontal donne l’ordre du zéro à l’infini, et celle de l’arc circulaire donne k/12. L’auteur discute ensuite du cas des zéros sur le bord, qui doivent être comptés avec des fractions (1/2 sur les côtés droits, θ/2π aux points anguleux). Ensuite, il applique ce résultat pour déterminer les dimensions des espaces de formes modulaires de petits poids : poids 0 (dimension 1), poids 2 (dimension 0), poids 4 (dimension 1), poids 6 (dimension 1), poids 8 (dimension 1), poids 10 (dimension 1), poids 12 (dimension 2). Il en déduit des relations comme E8 = E4^2 et E10 = E4*E6. Pour le poids 12, il introduit le discriminant Δ = (E4^3 - E6^2)/1728, qui a un zéro simple à l’infini et aucun dans le demi-plan supérieur. Enfin, par récurrence sur le poids, il montre que toute forme modulaire de poids pair supérieur à 12 peut s’écrire comme polynôme en E4 et E6, établissant ainsi le résultat principal. Il mentionne que E4 et E6 sont algébriquement indépendants, laissant la preuve en exercice.