Representation theory: Abelian groups

Ce cours de Richard Borcherds traite des représentations complexes des groupes abéliens finis. L’auteur commence par l’exemple du groupe cyclique d’ordre 3, montrant comment toute représentation se décompose en représentations irréductibles de dimension 1. Il généralise ensuite aux groupes abéliens finis, en utilisant la décomposition en produit de groupes cycliques. Il introduit le groupe dual des caractères, montre que tout groupe abélien fini est isomorphe à son dual, mais de manière non canonique, tandis que l’isomorphisme avec le double dual est canonique, ce qui est un cas particulier de la dualité de Pontryagin. Il vérifie les relations d’orthogonalité des caractères et établit le lien avec les séries de Fourier, en montrant que la transformée de Fourier sur un groupe abélien fini généralise la série de Fourier classique pour les fonctions périodiques. Il examine ensuite les complications qui surviennent si l’on change de corps : sur les réels, certaines représentations irréductibles sont de dimension 2 ; en caractéristique positive, si la caractéristique divise l’ordre du groupe, la théorie devient beaucoup plus complexe, avec des représentations indécomposables mais réductibles, et la classification est un problème ouvert pour les groupes non cycliques. Enfin, il aborde le cas des groupes infinis et des espaces de dimension infinie, mentionnant le problème du sous-espace invariant et l’exemple d’Enflo.