Group theory 5: products

Ce cinquième cours de la série sur la théorie des groupes, donné par Richard Borcherds, se concentre sur les produits de groupes. Il commence par classer les groupes d’ordre 4, montrant qu’il n’en existe que deux : le groupe cyclique Z/4Z et le groupe de Klein V4, qui est isomorphe à Z/2Z × Z/2Z. Pour cela, il utilise le fait que si tous les éléments sont d’ordre 2, le groupe est abélien, et le considère comme un espace vectoriel sur F2. Ensuite, il introduit les suites exactes et explique la notion de suite scindée, en soulignant qu’une suite exacte n’est pas toujours scindée, avec l’exemple de Z/4Z. Il définit le produit direct de deux groupes et donne un critère pour qu’un groupe soit isomorphe à un produit. Plusieurs exemples sont présentés : le groupe multiplicatif des réels non nuls, le groupe multiplicatif des complexes, le théorème des restes chinois pour Z/mnZ, et le groupe des unités de Z/15Z. Il montre aussi que le groupe multiplicatif des rationnels non nuls est isomorphe à Z/2Z ⊕ (somme directe de copies de Z), et que les groupes de symétries de l’octaèdre, du cube, de l’icosaèdre et du dodécaèdre se décomposent en produit direct, contrairement à celui du tétraèdre. Enfin, il traite du groupe des racines de l’unité, qui se décompose en somme directe de groupes de racines d’ordre puissance de premier.