Mordell-Weil theorem

Cette vidéo est un cours magistral de Richard E. Borcherds sur le théorème de Mordell-Weil. Le théorème stipule que le groupe des points rationnels d’une courbe elliptique (ou plus généralement d’une variété abélienne) sur un corps de nombres est de type fini. Borcherds commence par rappeler la définition d’une courbe elliptique et la loi de groupe qui y est associée. Il énonce ensuite le théorème de Mordell-Weil et ses généralisations (Weil pour les variétés abéliennes, Lang pour les corps de nombres). La preuve est esquissée en deux étapes : la preuve du théorème faible de Mordell-Weil, qui établit que le quotient E(Q)/2E(Q) est fini, et l’introduction d’une fonction hauteur qui permet de contrôler la taille des points. Borcherds explique comment ces deux propriétés impliquent le théorème complet. Il détaille la construction de la hauteur, d’abord pour les courbes elliptiques, puis pour les variétés abéliennes via un plongement projectif. La preuve du théorème faible repose sur des arguments de théorie de Galois et de cohomologie, en montrant que le groupe de Galois d’une certaine extension est fini. Enfin, Borcherds discute de l’effectivité de la preuve et mentionne le groupe de Tate-Shafarevich comme obstruction à un algorithme explicite.