Galois theory: Artin Schreier extensions

Ce cours magistral de Richard E. Borcherds, destiné à des étudiants de niveau master, traite des extensions d’Artin-Schreier en théorie de Galois. L’auteur commence par rappeler le problème : décrire les extensions galoisiennes dont le groupe de Galois est cyclique d’ordre p, où p est la caractéristique du corps de base. Il montre que ces extensions ne peuvent pas être obtenues par adjonction de racines p-ièmes, car celles-ci sont inséparables. Il introduit alors la notion de vecteurs propres généralisés pour construire un élément v tel que σ(v) = v + 1, où σ est un générateur du groupe de Galois. Il en déduit que v satisfait l’équation v^p - v = a, avec a ∈ k, ce qui donne le polynôme d’Artin-Schreier X^p - X - a. Il étudie ensuite les propriétés de ce polynôme : il est soit irréductible, soit totalement scindé, et son corps de décomposition a un groupe de Galois isomorphe à Z/pZ. Il donne un exemple de construction d’un corps fini de cardinal p^p à l’aide de ce polynôme. Enfin, il compare les extensions d’Artin-Schreier avec les extensions de Kummer, soulignant leur analogie : multiplication par une racine de l’unité pour Kummer, addition de 1 pour Artin-Schreier. Il mentionne également le produit d’Artin-Schreier, analogue du produit de Kummer, et conclut en annonçant le prochain cours sur la résolution par radicaux des équations de degré 3 et 4.