OAL-RAG 2024: Saugata Basu (Purdue University)

La conférence de Saugata Basu, intitulée ‘Homology of symmetric semi-algebraic sets’, présente des travaux récents sur la structure des groupes d’homologie d’ensembles semi-algébriques symétriques. L’orateur commence par rappeler les bornes classiques sur les nombres de Betti de tels ensembles, dues à Petrovskii, Oleinik, Thom et Milnor. Il introduit ensuite la notion d’ensembles semi-algébriques symétriques, stables sous l’action du groupe symétrique, et explique que leur homologie devient alors un module sur ce groupe. L’idée centrale est d’étudier la décomposition isotypique de ces modules, ce qui permet d’obtenir des informations plus fines que les simples bornes sur les nombres de Betti. Un exemple frappant est celui de l’hypercube booléen, dont l’homologie est exponentiellement grande, mais dont la décomposition isotypique ne fait intervenir qu’un nombre polynomial de représentations, chacune avec une multiplicité polynomiale. Le conférencier présente ensuite un théorème général bornant les multiplicités des représentations apparaissant dans l’homologie d’un tel ensemble, en fonction du degré des polynômes définissant l’ensemble. Il esquisse la stratégie de preuve, qui repose sur la réduction à des variétés de Vandermonde et l’utilisation de la théorie des groupes de Coxeter. Il mentionne également des conséquences algorithmiques, permettant de calculer les nombres de Betti avec une complexité polynomiale en le nombre de variables pour une dimension et un degré fixés. Enfin, il aborde des connexions avec la théorie de la stabilité homologique et présente une conjecture sur le comportement asymptotique des multiplicités lorsque le nombre de variables tend vers l’infini, avec des preuves partielles dans le cas des polynômes multi-affines.