Geometric Aspects of the $p$-adic Locally Analytic Langlands Correspondence

Cet exposé de recherche, donné dans le cadre d’une série de conférences à l’IHES, porte sur la géométrisation de la correspondance de Langlands p-adique localement analytique. L’orateur, Arthur-César Le Bras, s’appuie sur des travaux en collaboration avec Anschütz, Rodriguez Camargo et Scholze. Il rappelle d’abord la construction du champ des G-fibrés sur une variante de la courbe de Fargues-Fontaine, noté Bungee, qui permet de réaliser les représentations localement analytiques comme des faisceaux. Il introduit ensuite le côté spectral avec les champs de modules de représentations galoisiennes p-adiques, notés LS_{D1}^n et leur version dérivée. L’objectif est de relier ces deux côtés par une action de Hecke, comme dans la philosophie de Fargues-Scholze. L’orateur discute des difficultés à définir précisément cette action et se concentre sur deux exemples : l’action des représentations du groupe de Weil et un exemple lubin-tate pour GL_2. Il décrit notamment la stratification du champ de Hecke global et l’apparition de la prismatisation analytique de P^1. L’exposé se conclut sur des perspectives et des questions ouvertes, soulignant le caractère conjectural et partiel de ces constructions.

Le titre correspond précisément au contenu : l'exposé traite des aspects géométriques de la correspondance de Langlands localement analytique p-adique.

8/10

Exposé de recherche avancé par un spécialiste reconnu, présentant des travaux en cours avec des coauteurs établis. Le contenu est cohérent avec les développements récents en géométrisation du programme de Langlands p-adique. La rigueur mathématique est élevée, mais l'absence de preuves détaillées et le caractère conjectural de certaines affirmations limitent la note.

Repères établis par PSI à partir de la transcription : le créateur n'a pas défini de chapitres.

• 00:00Introduction et rappel des constructions précédentes (champ Bungee, représentations localement analytiques).
• 05:00Présentation du côté spectral : champs de modules LS_{D1}^n et version dérivée.
• 10:00Discussion sur la conjecture de géométrisation localement analytique et la difficulté de la relier au cas lisse.
• 15:00Introduction de l'action de Hecke et de la nécessité de définir le champ de Hecke global et local.
• 20:00Premier exemple : action des représentations du groupe de Weil, lien avec la correspondance de Langlands locale.
• 25:00Deuxième exemple : cas de GL_2, modification minuscule, apparition de la prismatisation analytique de P^1.
• 30:00Description de la stratification du champ de Hecke global et du rôle de l'automorphisme du fibré trivial.
• 35:00Discussion sur les limites de la construction et les questions ouvertes pour des poids non minuscules.
• 40:00Conclusion et perspectives : vers une géométrisation complète de la correspondance de Langlands p-adique localement analytique.

• Carmin.tv - plateforme vidéo pour les mathématiques — La plateforme Carmin.tv est mentionnée dans la description de la vidéo comme hébergeant l'enregistrement et offrant des fonctionnalités supplémentaires pour la communauté scientifique.

• Travaux de Fargues et Scholze sur la géométrisation de la correspondance de Langlands — L'orateur s'appuie sur les travaux de Fargues et Scholze, qui ont établi une géométrisation de la correspondance de Langlands locale pour les représentations lisses. Ces travaux sont mentionnés comme source d'inspiration et de comparaison.
• Travaux de Johannes Hellmann et collaborateurs sur le côté galoisien — L'orateur fait référence aux conférences de Johannes Hellmann (avec Hernandez, Schraen, Heuer) qui traitent du côté galoisien, introduisant les champs de modules de représentations galoisiennes p-adiques.

• Aucune source discordante identifiée — L'exposé est un travail de recherche en cours, et aucune source contradictoire n'a été mentionnée ou identifiée dans le contenu.